問題詳情:
如圖,在正方形ABCD中,點M是BC邊上的任一點,連接AM並將線段AM繞M順時針旋
轉得到線段MN,在CD邊上取點P使CP=BM,連接NP,BP.
(1)求*:四邊形BMNP是平行四邊形; (2)線段MN與CD交於點Q,連接AQ,若△MCQ∽△AMQ,則BM與MC存在怎樣的數量
關係?請説明理由.
【回答】
(1)*:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C,
在△ABM和△BCP中,
AB=BC, ∠ABC=∠C,CP=BM,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四邊形BMNP是平行四邊形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:
∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABM=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴=,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴=,
∴=,
∴BM=MC.
知識點:相似三角形
題型:解答題