．閲讀：如圖1，點P（x，y）在平面直角座標中，過點P作PA⊥x軸，垂足為A，將點P繞垂足A順時針旋轉角α（0...

問題詳情：

．閲讀：如圖1，點P（x，y）在平面直角座標中，過點P作PA⊥x軸，垂足為A，將點P繞垂足A順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到對應點P′，我們稱點P到點P′的運動為傾斜α運動．例如：點P（0，2）傾斜30°運動後的對應點為P′（1，）．

圖形E在平面直角座標系中，圖形E上的所有點都作傾斜α運動後得到圖形E′，這樣的運動稱為圖形E的傾斜α運動．

理解

（1）點Q（1，2）傾斜60°運動後的對應點Q′的座標為　　　　　　；

（2）如圖2，平行於x軸的線段MN傾斜α運動後得到對應線段M′N′，M′N′與MN平行且相等嗎？説明理由．

應用：（1）如圖3，正方形AOBC傾斜α運動後，其各邊中點E，F，G，H的對應點E′，F′，G′，H′構成的四邊形是什麼特殊四邊形：　　　　　　；

（2）如圖4，已知點A（0，4），B（2，0），C（3，2），將△ABC傾斜α運動後能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′為直角，其中點A′，B′，C′為點A，B，C的對應點．請求出cosα的值．

【回答】

【考點】幾何變換綜合題．

【分析】理解：

（1）根據題目中稱點P到P′的運動為傾α運動的定義來求Q′的座標；

（2）根據題目中圖形E的傾α運動的定義可以判斷M′N′與MN的關係；

應用：

（1）參考理解（2）可得，正方形AOBC旋轉後形成菱形，菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形；

（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函數求得cosα的值．

【解答】解：（1）如圖1，

過點Q作QA⊥x軸，垂足為A，過旋轉Q′作x軸的垂線，垂足為B，

在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，

由勾股定理得AB=，

∴OB=1+，

∴Q′的座標為（1+，1）．故*為：（1+，1）．

（2）M′N′與MN平行且相等，

理由如下：

如圖2，

分別過點M、N作MA⊥x軸於點A，NB⊥x軸於點B，

∴MN∥AB，且MN=AB，

由定義可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，

∴四邊M′ABN′是平行四邊形，

∴M′N′∥AB，M′N′=AB，

∴M′N′與MN平行且相等．

應用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋轉後形成菱形，

菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形．

故*為：矩形；

（2）能，cosα=．

如圖3，

設AB的中點為D，

∴D點座標為（1，2），

∴CD∥x軸，且CD=2，

∵D點對應點D′是A′B′中點，C′D′=2，

∴C′D′=A′B′，

∴A′B′=4=OA′，

∵∠α=∠OA′B′，

∴cosα=．

【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了勾股定理，平行四邊形的*質和判定，菱形，正方形，矩形的*質和判定，解本題的關鍵是旋轉前後找到相等的量．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題