如圖，在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點，以CM為直徑作圓O交AC於點N，延長MN至D，使ND＝MN，連接A...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點，以CM為直徑作圓O交AC於點N，延長MN至D，使ND＝MN，連接AD、CD，CD交圓O於點E．

（1）判斷四邊形AMCD的形狀，並説明理由；

（2）求*：ND＝NE；

（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的長．

【回答】

【解答】（1）解：四邊形AMCD是菱形，理由如下：

∵M是Rt△ABC中AB的中點，

∴CM＝AM，

∵CM為⊙O的直徑，

∴∠CNM＝90°，

∴MD⊥AC，

∴AN＝CN，

∵ND＝MN，

∴四邊形AMCD是菱形．

（2）∵四邊形CENM為⊙O的內接四邊形，

∴∠CEN+∠CMN＝180°，

∵∠CEN+∠DEN＝180°，

∴∠CMN＝∠DEN，

∵四邊形AMCD是菱形，

∴CD＝CM，

∴∠CDM＝∠CMN，

∴∠DEN＝∠CDM，

∴ND＝NE．

（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，

∴△MDC∽△EDN，

∴，

設DN＝x，則MD＝2x，由此得，

解得：x＝或x＝﹣（不合題意，捨去），

∴，

∵MN為△ABC的中位線，

∴BC＝2MN，

∴BC＝2．

【點評】本題考查了圓綜合知識，熟練運用圓周角定理、菱形的判定與*質、直角三角形的*質、勾股定理以及相似三角形的判定與*質是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題