如圖，△ABC內接於⊙O，AB是⊙O的直徑，AC＝CE，連接AE交BC於點D，延長DC至F點，使CF＝CD，連...

問題詳情：

如圖，△ABC內接於⊙O，AB是⊙O的直徑，AC＝CE，連接AE交BC於點D，延長DC至F點，使CF＝CD，連接AF．

（1）判斷直線AF與⊙O的位置關係，並説明理由．

（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的長．

【回答】

解：（1）直線AF是⊙O的切線，理由是：連接AC，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

∵CF＝CD，

∴∠CAF＝∠EAC，

∵AC＝CE，

∴∠E＝∠EAC，

∵∠B＝∠E，

∴∠B＝∠FAC，

∵∠B+∠BAC＝90°，

∴∠FAC+∠BAC＝90°，

∴OA⊥AF，

又∵點A在⊙O上，

∴直線AF是⊙O的切線；

（2）過點C作CM⊥AE，

∵tan∠CAE＝，

∴＝，

∵AC＝10，

∴設CM＝3x，則AM＝4x，

在Rt△ACM中，根據勾股定理，CM2+AM2＝AC2，

∴（3x）2+（4x）2＝100，

解得x＝2，

∴AM＝8，

∵AC＝CE，

∴AE＝2AE＝2×8＝16．

知識點：各地中考

題型：解答題