問題詳情:
如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點,以DE為邊作正方形DEFG,連接BF,點M是線段BF中點,*線EM與BC交於點H,連接CM.
(1)請直接寫出CM和EM的數量關係和位置關係;
(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°,此時點F恰好落在線段CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請説明理由;
(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°,此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請説明理由.
【回答】
解:(1)如圖1,結論:CM=EM,CM⊥EM.
理由:∵AD∥EF,AD∥BC,∴BC∥EF,∴∠EFM=∠HBM.在△FME和△BMH中,,∴△FME≌△BMH,∴HM=EM,EF=BH.
∵CD=BC,∴CE=CH1∠HCE=90°,HM=EM,∴CM=ME,CM⊥EM.
(2如圖2,連接AE,
∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形,∴∠FDE=45°,∠CBD=45°,∴點B、E、D在同一條直線上.
∵∠BCF=90°,∠BEF=90°,M為AF的中點,∴CM=AF,EM=AF,∴CM=ME.
∵∠EFD=45°,∴∠EFC=135°.
∵CM=FM=ME,∴∠MCF=∠MFC,∠MFE=∠MEF,∴∠MCF+∠MEF=135°,∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°,∴CM⊥ME.
(3)如圖3,連接CF,MG,作MN⊥CD於N,
在△EDM和△GDM中,,∴△EDM≌△GDM,∴ME=MG,∠MED=∠MGD.
∵M為BF的中點,FG∥MN∥BC,∴GN=NC,又MN⊥CD,∴MC=MG,∴MD=ME,∠MCG=∠MGC.
∵∠MGC+∠MGD=180°,∴∠MCG+∠MED=180°,∴∠CME+∠CDE=180°.
∵∠CDE=90°,∴∠CME=90°,∴(1)中的結論成立.
知識點:各地中考
題型:解答題