在底面是正方形的四稜錐中,,,點在上,且.（Ⅰ）求*:平面;（Ⅱ）求二面角的餘弦值.

問題詳情：

在底面是正方形的四稜錐中,,,點在上,且.

（Ⅰ）求*:平面;

（Ⅱ）求二面角的餘弦值.

【回答】

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）易*，，從而可*平面；

（Ⅱ）以A為座標原點，直線分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，求得平面ACE的法向量為，及平面ACD的法向量，由法向量夾角公式求解即可.

試題解析：

(1)正方形ABCD邊長為1,PA=1,，

所以，即，

根據直線和平面垂直的判定定理，有平面.

(2)如圖，以A為座標原點，直線分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系.

則，

由(1)知為平面ACD的法向量,，

設平面ACE的法向量為，

則

令,則,

設二面角的平面角為,則=，

又有圖可知，為鋭角，

故所求二面角的餘弦值為.

點睛：用空間向量求解立體幾何問題的注意點

（1）建立座標系時要確保條件具備，即要*得到兩兩垂直的三條直線，建系後要準確求得所需點的座標．

（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關係，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是鋭角還是鈍角，然後作出正確的結論．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題