已知函數f（x）=，把函數g（x）=f（x）﹣x的偶數零點按從小到大的順序排列成一個數列，該數列的前n項的和S...

問題詳情：

已知函數f（x）=，把函數g（x）=f（x）﹣x的偶數零點按從小到大的順序排列成一個數列，該數列的前n項的和Sn，則S10=（　　）

A． 45 B． 55 C． 90 D． 110

【回答】

C

考點： 數列的求和；分段函數的應用．

專題： 函數的*質及應用；等差數列與等比數列．

分析： 由分段函數解析式得到函數f（x）在x＞0時的分段解析式，首先求得函數g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零點，然後根據函數的圖象平移得到函數g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點，得到偶數零點按從小到大的順序排列的數列，利用等差數列的前n項和得*．

解答： 解：當0＜x≤2時，有﹣2＜x﹣2≤0，則f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，

當2＜x≤4時，有0＜x﹣2≤2，則f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，

當4＜x≤6時，有2＜x﹣2≤4，則f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，

當6＜x≤8時，有4＜x﹣1≤6，則f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，

以此類推，當2n＜x≤2n+2（其中n∈N）時，則f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，

∴函數f（x）=2x的圖象與直線y=x+1的交點為：（0，1）和（﹣1，），

由於指數函數f（x）=2x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．

將函數f（x）=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位，即得到函數f（x）=2x﹣1和y=x的圖象，

取x≤0的部分，可見它們有兩個交點（0，0），（﹣1，）．

即當x≤0時，方程f（x）﹣x=0有兩個根x=﹣1，x=0；

當0＜x≤2時，由函數圖象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零點為1，2；

以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點分別為：

3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；

綜上所述函數g（x）=f（x）﹣x的偶數零點按從小到大的順序排列所得數列為：

0，2，4，…，

其通項公式為：an=2（n﹣1），前10項的和為S10=．

故選：C．

點評： 本題考查了分段函數的應用，考查了函數零點的判斷方法，考查了等差數列的和的求法，是中檔題．

知識點：數列

題型：選擇題