如圖，直四稜柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是...

問題詳情：

如圖，直四稜柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

（1）*：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

【回答】

（1）見解析；（2）.

【分析】

（1）利用三角形中位線和可*得，*得四邊形為平行四邊形，進而*得，根據線面平行判定定理可*得結論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角座標系，通過取中點，可*得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的餘弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.

【詳解】

（1）連接，

，分別為，中點    為的中位線

且

又為中點，且且

 四邊形為平行四邊形

，又平面，平面

平面

（2）設，

由直四稜柱*質可知：平面

四邊形為菱形   

則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角座標系：

則：，，，D（0，-1,0）

取中點，連接，則

四邊形為菱形且    為等邊三角形

又平面，平面

平面，即平面

為平面的一個法向量，且

設平面的法向量，又，

，令，則，   

二面角的正弦值為：

【點睛】

本題考查線面平行關係的*、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關鍵是能夠利用垂直關係建立空間直角座標系，從而通過求解法向量夾角的餘弦值來得到二面角的正弦值，屬於常規題型.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題