問題詳情:
橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點P,使得△F1F2P為等腰三角形,則橢圓C的離心率的取值範圍是( )
A. (,)B. (,1)
C. (,1)D. (,)∪(,1)
【回答】
D
【解析】①當點P與短軸的頂點重合時,
△F1F2P構成以F1F2為底邊的等腰三角形,
此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2P;
②當△F1F2P構成以F1F2為一腰的等腰三角形時,
以F2P作為等腰三角形的底邊為例,
∵|F1F2|=|F1P|,
∴點P在以F1為圓心,半徑為焦距2c的圓上,
因此,當以F1為圓心,半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時,
存在2個滿足條件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,|F1F2|+|PF1|>|PF2|,即2c+2c>2a-2c,
由此得知3c>a.所以離心率e>.
當e=時,△F1F2P是等邊三角形,與①中的三角形重複,故e≠.
同理,當F1P為等腰三角形的底邊時,在e>且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F1F2P.
綜上,共有6個不同的點P使得△F1F2P為等腰三角形.
綜上所述,離心率的取值範圍是e∈(,)∪(,1).
知識點:圓錐曲線與方程
題型:選擇題