問題詳情:
設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
【回答】
解:(1)根據c=及題設知M(c,),2b2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(捨去).
故C的離心率為.
(2)由題意知,原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設N(x1,y1),由題意知y1<0,則
即
代入C的方程,得+=1.②
將①及c=代入②得+=1,
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題