過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為B，與y軸的交點為C，已...

問題詳情：

過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為B，與y軸的交點為C，已知

(1)求橢圓的離心率；

(2)設動直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x＝4相交於點Q，若x軸上存在一定點M(1,0)，使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

【回答】

解：(1)∵A(－a,0)，設直線方程為y＝2(x＋a)，B(x1，y1)．

令x＝0，則y＝2a，∴C(0,2a)，

∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，

整理，得x1＝－a，y1＝a.

∵B點在橢圓上，

∴＝，

∴＝，即1－e2＝，

∴e＝.

(2)∵＝，可設b2＝3t，a2＝4t，

∴橢圓的方程為3x2＋4y2－12t＝0.

由得

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0.

∵動直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個公共點P，

∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理得m2＝3t＋4k2t.

設P(x1，y1)，

又Q(4,4k＋m)，x軸上存在一定點M(1,0)，使得PM⊥QM，

∴·(－3，－(4k＋m))＝0恆成立．

整理，得3＋4k2＝m2，

∴3＋4k2＝3t＋4k2t恆成立．

故t＝1，所求橢圓方程為＋＝1.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題