問題詳情:
橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,離心率為,過F1且垂直於x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,❶連接PF1,PF2,設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸於點M(m,0),求m的取值範圍;
(3)在(2)的條件下,過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點.❷設直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k≠0,試*+為定值,❸並求出這個定值.
【回答】
解 (1)橢圓C的方程為+y2=1(過程略).
(2)m的取值範圍是 (過程略).
(3)設P(x0,y0)(y0≠0),則直線l的方程為y-y0=k(x-x0).
聯立整理得
(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y-2kx0y0+k2x-1)=0.
由題意,得Δ=0,即(4-x)k2+2x0y0k+1-y=0.
又+y=1,所以16yk2+8x0y0k+x=0,
即(4y0k+x0)2=0.故k=-.
由橢圓C可得F1(-,0),F2(,0),又P(x0,y0),所以+==,
所以+=·=-8.
因此+為定值,這個定值為-8.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題