設F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點A(1，)到F...

問題詳情：

設F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點．

(1)若橢圓C上的點A(1，)到F1、F2兩點的距離之和等於4，寫出橢圓C的方程和焦點座標；

(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；

(3)若M、N是橢圓C上關於原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，並記為kPM、kPN時．

求*：kPM·kPN是與點P位置無關的定值．

【回答】

解：(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.

又點A在橢圓上，

因此＋＝1得b2＝3，

於是c2＝1.

所以橢圓C的方程為＋＝1，

焦點F1(－1,0)，F2(1,0)．

(2)設橢圓C上的動點為K(x1，y1)，線段F1K的中點Q(x，y)滿足：

x＝，y＝，

即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此＋＝1.

即2＋＝1為所求的軌跡方程．

(3)設點M(m，n)是橢圓＋＝1①

上的任一點，N(－m，－n)是M關於原點的中心對稱點，則＋＝1②

又設P(x，y)是橢圓上任一點，且kPM·kPN存在．

則kPM＝，kPN＝，

∴kPM·kPN＝·＝.

①－②得＋＝0，＝－，

∴kPM·kPN＝－.

故kPM·kPN與P的取值無關．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題