問題詳情:
.已知點M是橢圓C:+=1(a>b>0)上一點,F1,F2分別為C的左、右焦點,且|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交橢圓C異於N的A,B兩點,直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,*:k1+k2為定值.
【回答】
解:(1)在△F1MF2中,由|MF1||MF2|sin 60°=,得|MF1||MF2|=.
由余弦定理,得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos 60°=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|·(1+cos 60°),
解得|MF1|+|MF2|=4.
從而2a=|MF1|+|MF2|=4,即a=2.
由|F1F2|=4得c=2,從而b=2,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)*:當直線l的斜率存在時,設斜率為k,則其方程為y+2=k(x+1),
4.
當直線l的斜率不存在時,可得A(-1,),
B(-1,-),得k1+k2=4.
綜上,k1+k2為定值.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題