問題詳情:
如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A、B外的一個動點,DC垂直於半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)*:平面ADE⊥平面ACD;
(2)當三稜錐C﹣ADE體積最大時,求二面角D﹣AE﹣B的餘弦值.
【回答】
【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題;平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由已知條件推導出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此*DE⊥平面ACD,從而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依題意推導出若且唯若時三稜錐C﹣ADE體積最大,建立空間直角座標系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的餘弦值.
【解答】(Ⅰ)*:∵AB是直徑,∴BC⊥AC…(1分),
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…(2分),
∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…(3分)
∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四邊形,BC∥DE,
∴DE⊥平面ACD…,
∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD…
(Ⅱ)依題意,…,
由(Ⅰ)知
=
=
,
若且唯若時等號成立 …(8分)
如圖所示,建立空間直角座標系,
則D(0,0,1),,,
∴,,
,…(9分)
設面DAE的法向量為,
,即,∴,…(10分)
設面ABE的法向量為,
,即,∴,
∴…(12分)
∵與二面角D﹣AE﹣B的平面角互補,
∴二面角D﹣AE﹣B的餘弦值為. …(13分)
【點評】本題考查平面與平面垂直的*,考查二面角的餘弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
知識點:空間幾何體
題型:解答題