如圖，C在以AB為直徑的半圓⊙O上，I是△ABC的內心，AI，BI的延長線分別交半圓⊙O於點D，E，AB=6，...

問題詳情：

如圖，C在以AB為直徑的半圓⊙O上，I是△ABC的內心，AI，BI 的延長線分別交半圓⊙O於點D，E，AB=6，則DE的長為（　　）

A．3    B．3 C．3 D．5

【回答】

B【考點】三角形的內切圓與內心；圓周角定理．

【分析】連結OD、OE．根據三角形內心的*質得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圓周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，進而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定義得出∠DOE=90°，又OD=OE=AB=3，然後根據勾股定理即可求出DE．

【解答】解：如圖，連結OD、OE．

∵I是△ABC的內心，

∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．

∵C在以AB為直徑的半圓⊙O上，

∴∠C=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴2∠DAB+2∠ABE=90°，

∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，

∴∠DOB+∠AOE=90°，

∴∠DOE=180°﹣（∠DOB+∠AOE）=90°，

∵OD=OE=AB=3，

∴DE==3．

故選B．

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了圓周角定理，平角的定義以及勾股定理．作出輔助線*∠DOE=90°是解題的關鍵．

知識點：圓的有關*質

題型：選擇題