問題詳情:
如圖,等邊三角形ABC邊長是定值,點O是它的外心,過點O任意作一條直線分別交AB,BC於點D,E.將△BDE沿直線DE摺疊,得到△B′DE,若B′D,B′E分別交AC於點F,G,連接OF,OG,則下列判斷錯誤的是( )
A.△ADF≌△CGE
B.△B′FG的周長是一個定值
C.四邊形FOEC的面積是一個定值
D.四邊形OGB'F的面積是一個定值
【回答】
D【分析】A、根據等邊三角形ABC的外心的*質可知:AO平分∠BAC,根據角平分線的定理和逆定理得:FO平分∠DFG,由外角的*質可*∠DOF=60°,同理可得∠EOG=60°,∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,可*△DOF≌△GOF≌△GOE,△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,從而得△ADF≌△CGE;
B、根據△DOF≌△GOF≌△GOE,得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得結論;
C、根據S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE,依次換成面積相等的三角形,可得結論為:S△AOC=(定值),可作判斷;
D、方法同C,將S四邊形OGB'F=S△OAC﹣S△OFG,根據S△OFG=•FG•OH,FG變化,故△OFG的面積變化,從而四邊形OGB'F的面積也變化,可作判斷.
【解答】解:A、連接OA、OC,
∵點O是等邊三角形ABC的外心,
∴AO平分∠BAC,
∴點O到AB、AC的距離相等,
由摺疊得:DO平分∠BDB',
∴點O到AB、DB'的距離相等,
∴點O到DB'、AC的距離相等,
∴FO平分∠DFG,
∠DFO=∠OFG=(∠FAD+∠ADF),
由摺疊得:∠BDE=∠ODF=(∠DAF+∠AFD),
∴∠OFD+∠ODF=(∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD)=120°,
∴∠DOF=60°,
同理可得∠EOG=60°,
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,
∴△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴OD=OG,OE=OF,
∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB,
∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,
∴AD=CG,AF=CE,
∴△ADF≌△CGE,
故選項A正確;
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴DF=GF=GE,
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE,
∴B'G=AD,
∴△B'FG的周長=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC(定值),
故選項B正確;
C、S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=(定值),
故選項C正確;
D、S四邊形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四邊形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG,
過O作OH⊥AC於H,
∴S△OFG=•FG•OH,
由於OH是定值,FG變化,故△OFG的面積變化,從而四邊形OGB'F的面積也變化,
故選項D不一定正確;
故選:D.
【點評】本題考查了等邊三角形的*質、三角形全等的*質和判定、角平分線的*質和判定、三角形和四邊形面積及周長的確定以及摺疊的*質,有難度,本題全等的三角形比較多,要注意利用數形結合,並熟練掌握三角形全等的判定,還要熟練掌握角平分線的逆定理的運用,*FO平分∠DFG是本題的關鍵,
知識點:各地中考
題型:選擇題