問題詳情:
如圖1, O經過等邊△ABC的頂點A,C(圓心O在△ABC內),分別與AB,CB的延長線交於點D,E,連結DE,BF⊥EC交AE於點F.
(1)求*:BD=BE.
(2)當AF:EF=3:2,AC=6時,求AE的長。
(3)設 =x,tan∠DAE=y.
①求y關於x的函數表達式;
②如圖2,連結OF,OB,若△AEC的面積是△OFB面積的10倍,求y的值
【回答】
(1)*:∵△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=∠C=60 .
∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60
∴∠DEB=∠D.
∴BD=BE (2)解:如圖,過點A作AG⊥EC於點G.
∵△ABC為等邊三角形,AC=6,
∴BG= BC= AC=3.
∴在Rt△ABG中,AG= BG=3 .
∵BF⊥EC,
∴BF∥AG.
∵AF:EF=3:2,
∴BE= BG=2.
∴EG=BE+BG=3+2=5.
∴在Rt△AEG中,AE= . (3)解:①如圖,過點E作EH⊥AD於點H.
∵∠EBD=∠ABC=60°,
∴在Rt△BEH中, =sin60 = .
∴
∴
∵BG=xBE.
∴AB=BC=2BG-2xBE.
∴AH-AB+BH=2xBE+ BE=(2x+ )BE.
∴在Rt△AHE中,tan =
y=
②如圖,過點O作OM⊥EC於點M.
設BE=a.
∵
∴CG=BG=xBE=x.
∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.
∴AM= EC= a+ax.
∴BM=EM-BE=ax- a
∵BF∥AG
∴△EBF∽△EGA.
∴
∵AG= BG= ax
∴BF= AG=
∴△OFB的面積=
∴△AEC的面積=
∵△AEC的面積是△OFB的面積10倍
∴
∴
解得
∴
【考點】圓的綜合題
【解析】【分析】(1)根據等邊三角形的三個內角都等於60°得出∠BAC=∠C=60°,根據同弧所對的圓周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根據等角對等邊得出BD=BE; (2)如圖,過點A作AG⊥EC於點G,根據等邊三角形的三線合一得出BG=3,在Rt△ABG中,根據含30°角的直角三角形的邊之間的關係得出AG的長,根據同一平面內垂直於同一直線的兩條直線互相平行得出BF∥AG,根據平行線分線段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根據比例式即可算出EG的長,最後在Rt△AEG中,根據勾股定理即可算出AE的長; (3)①如圖,過點E作EH⊥AD於點H,在Rt△BEH中,根據鋭角三角函數的定義,及特殊鋭角三角函數值得出EH= ,由於BG∶EB=AF∶EF=x,故BG=xBE,AB=2xBE,最後根據AH=AB+BH表示出AH,在Rt△AHE中,根據正切函數的定義,由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函數關係式;②如圖,過點O作OM⊥EC於點M,設BE為a,根據BG∶EB=AF∶EF=x,得出CG=BG=xBE=ax,故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根據垂徑定理得出EM的長,進而根據線段的和差表示出BM的長,根據平行於三角形一邊的直線,截其它兩邊,所截的三角形與原三角形相似得出△EBF∽△EGA,根據相似三角形的對應邊成比例表示出BF的長,根據三角形的面積計算公式分別表示出△OFB的面積及△AEC的面積,然後根據△AEC的面積是△OFB的面積的10倍建立方程,求解算出x的值,進而即可得出*。
知識點:各地中考
題型:解答題