已知函數．（1）當a=1時，求在時的最小值；（2）若存在單調遞減區間，求a的取值範圍；（3）求*：．

問題詳情：

已知函數．

（1）當a =1時，求在時的最小值；

（2）若存在單調遞減區間，求a的取值範圍；

（3）求*：．

【回答】

解：（1）的定義域為．

∵，

∴在上是增函數．

當時，的最小值為；（3分）

（2）∵

∵若存在單調遞減區間，

∴有正數解．即有的解．（5分）

①當時，明顯成立．

②當時，為開口向下的拋物線，故總有的解；

③當時，為開口向上的拋物線，

故方程必須有正根

∵，∴方程有兩正根

∴，解得．

綜合①②③知：．（9分）

（3）（法一）根據（1）的結論，當時，，即

令，則有

∴．（12分）

（法二）①當n=1時，ln（n+1）=ln2．

∵3ln2=ln8>1，∴，即n=1時命題成立．

②設當n=k時，命題成立，即．

∴當n=k+1時，

根據（1）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即n=k+1時命題也成立．

因此，由數學歸納法可知不等式成立．（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調*及數學歸納法，難點之一在於（2）中通過求 後，轉化為“有的解”的問題，再用分類討論思想來解決；難點之二在於（3）中法一通過構造函數，用放縮法*得結論，法二通過數學歸納法，其中也有構造函數的思想，屬於難題．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題