已知函數，．（1）若在處取得極值，求的值；（2）設，試討論函數的單調*；（3）當時，若存在正實數滿足，求*：．

問題詳情：

已知函數，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設，試討論函數的單調*；

（3）當時，若存在正實數滿足，

求*：．

【回答】

（1）解：因為，所以，

    因為在處取得極值，

所以，解得．                    

驗*：當時，，

易得在處取得極大值．                         

（2）解：因為，

    所以．

①若，則當時，，所以函數在上單調遞增；

當時，，函數在上單調遞減．

②若，，

當時，易得函數在和上單調遞增，

在上單調遞減；                                 

當時，恆成立，所以函數在上單調遞增；

當時，易得函數在和上單調遞增，

在上單調遞減．                                  

（3）*：當時，，

因為，

所以，

即，

所以．              

令，，

則，

當時，，所以函數在上單調遞減；

當時，，所以函數在上單調遞增．

所以函數在時，取得最小值，最小值為．  

所以，

即，所以或．

因為為正實數，所以．

當時，，此時不存在滿足條件，

所以．                                          

知識點：導數及其應用

題型：解答題