問題詳情:
.設函數。
(1)若在區間上存在單調遞減區間,求的取值範圍;
(2)當時,在區間上的最大值為15,求在區間上的最小值。
【回答】
(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)求出導函數,利用f(x)在區間上存在單調遞減區間,轉化為導函數在上存在函數值小於零的區間,列出不等式求解a的範圍即可.
(2)判斷導函數的開口方向,對稱軸,利用函數f(x)的上單調*,求出a,然後求解最小值.
【詳解】解:(1)函數,a∈R.
可得.
由條件f(x)在區間上存在單調遞減區間,知導函數在上存在函數值小於零的區間,
只需 ,解得 ,
故a的取值範圍為.
(2)的圖象開口向上,且對稱軸x=﹣1,
f′(0)=a<0,f′(3)=9+6+a=15+a>0,
所以必存在一點x0∈(0,3),使得f′(x0)=0,
此時函數f(x)在[0,x0]上單調遞減,
在[x0,3]單調遞增,又由於f(0)=0,f(3)=9+9+a=18+3a>0=f(0)
所以f(3)=18+3a=15,即a=﹣1,此時,
由 ,
所以函數 .
【點睛】本題考查函數的導數的應用,導函數的*質,函數的最值的求法,考查分析問題解決問題的能力.
知識點:導數及其應用
題型:解答題