下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF=BE，CE、BF交於H，BF交AC於M，...

問題詳情：

下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF=BE，CE、BF交於H，BF交AC於M，O為AC的中點，OB交CE於N，連OH．下列結論中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正確的命題有（　　）

A．只有①② B．只有①②④   C．只有①④ D．①②③④

【回答】

B

【考點】正方形的*質；全等三角形的判定與*質；等腰三角形的判定與*質；直角三角形斜邊上的中線．

【分析】①可*△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得*．

②由題意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得*．

③利用AAS*三角形OCN全等於三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點時，OH等於BM（CN）的一半，所以（3）錯誤．

過O點作OG垂直於OH，OG交CH於G點，由題意可*得三角形OGC與三角形OHB全等．

按照前述作輔助線之後，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之後等於HG，則在**三角形OGC與三角形OHB全等之後，CG=BH，所以④式成立．

【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴△ABF≌△BEC，

∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，

∴△BEH∽△ABF，

∴∠BAF=∠BHE=90°，

即BF⊥EC，①正確；

∵四邊形是正方形，

∴BO⊥AC，BO=OC，

由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，

∴∠ECO=∠FBO，

∴△OBM≌△ONC，

∴ON=OM，

即②正確；

③∵△OBM≌△ONC，

∴BM=CN，

∵∠BOM=90°，

∴當H為BM中點時，OH=BM=CN（直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半），

因此只有當H為BM的中點時，，故③錯誤；

④過O點作OG垂直於OH，OG交CH與G點，

在△OGC與△OHB中，

，

故△OGC≌△OHB，

∵OH⊥OG，

∴△OHG是等腰直角三角形，

按照前述作輔助線之後，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之後等於HG，

則在**三角形OGC與三角形OHB全等之後，CG=BH，

所以④式成立．

綜上所述，①②④正確．

故選B．

【點評】本題考查了正方形的*質，全等三角形的*以及直角三角形斜邊中線的*質，比較綜合，有一定難度．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題