問題詳情:
設點A、B是拋物線y2=4px (p>0)上除原點O以外的兩個動點,已知OA⊥OB,OM⊥AB,垂足為M,求點M的軌跡方程,並説明它表示什麼曲線?
【回答】
解 設直線OA的方程為y=kx (k≠±1,因為當k=±1時,直線AB的斜率不存在),則直線OB的方程為y=-,
進而可求A、B(4pk2,-4pk).
於是直線AB的斜率為kAB=,
從而kOM=,
∴直線OM的方程為y=x,①
直線AB的方程為y+4pk= (x-4pk2).②
將①②相乘,得y2+4pky=-x(x-4pk2),
即x2+y2=-4pky+4pk2x=4p(k2x-ky),③
又k2x-ky=x,代入③式並化簡,
得(x-2p)2+y2=4p2.
當k=±1時,易求得直線AB的方程為x=4p.
故此時點M的座標為(4p,0),也在(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0)上.
∴點M的軌跡方程為(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0),
∴其軌跡是以(2p,0)為圓心,半徑為2p的圓,去掉座標原點.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題