拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，A、B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=60°．過弦AB的中點M作...

問題詳情：

拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，A、B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=60°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（　　）

A．  B． C．1    D．2

【回答】

C考點： 拋物線的簡單*質．

專題： 不等式的解法及應用；圓錐曲線的定義、*質與方程．

分析： 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據基本不等式，求得|AB|的取值範圍，從而得到本題*．

解答： 解：設|AF|=a，|BF|=b，

由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|

在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．

由余弦定理得，

|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab

*得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，

又∵ab≤（） 2，

∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2

得到|AB|≥（a+b）．

∴≤1，即的最大值為1．

故選C．

點評： 本題着重考查拋物線的定義和簡單幾何*質、基本不等式求最值和餘弦定理的應用等知識，屬於中檔題．

知識點：函數的應用

題型：選擇題