問題詳情:
已知向量,,,,函數,的最小正週期為.
(1)求的單調增區間;
(2)方程;在上有且只有一個解,求實數n的取值範圍;
(3)是否存在實數m滿足對任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值範圍;若不存在,説明理由.
【回答】
(1),(2)或(3)存在,且m取值範圍為
【解析】
(1)函數,的最小正週期為.可得,即可求解的單調增區間.
(2)根據x在上求解的值域,即可求解實數n的取值範圍;
(3)由題意,求解的最小值,利用換元法求解的最小值,即可求解m的範圍.
【詳解】(1)函數f(x)•1=2sin2(ωx)cos(2ωx)﹣1
=sin(2ωx)cos(2ωx)
=2sin(2ωx)
∵f(x)的最小正週期為π.ω>0
∴,
∴ω=1.
那麼f(x)的解析式f(x)=2sin(2x)
令2x,k∈Z
得:x
∴f(x)的單調增區間為[,],k∈Z.
(2)方程f(x)﹣2n+1=0;[0,]上有且只有一個解,
轉化為函數y=f(x)+1與函數y=2n只有一個交點.
∵x在[0,]上,
∴(2x)
那麼函數y=f(x)+1=2sin(2x)+1的值域為[,3],結合圖象可知
函數y=f(x)+1與函數y=2n只有一個交點.
那麼2n<1或2n=3,
可得或n=.
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x)
∴f(x2)min=﹣2.
實數m滿足對任意x1∈[﹣1,1],都存在x2∈R,
使得成立.
即成立
令
設t,那麼
∵x1∈[﹣1,1],
∴t∈[,],
可得t2+mt+5>0在t∈[,]上成立.
令g(t)=t2+mt+5>0,
其對稱軸t
∵t∈[,]上,
∴①當時,即m≥3時,g(t)min=g(),解得;
②當,即﹣3<m<3時,g(t)min=g()0,解得﹣3<m<3;
③當,即m≤﹣3時,g(t)min=g()0,解得m≤﹣3;
綜上可得,存在m,可知m的取值範圍是(,).
【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和*質,利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵.同時考查了二次函數的最值的討論和轉化思想的應用.屬於難題.
知識點:平面向量
題型:解答題