如圖，是的外接圓，直線與相切於點，連接交於點．（1）求*：平分；（2）若的平分線交於點，且，，求的長．

問題詳情：

如圖，是的外接圓，直線與相切於點，連接交於點．

（1）求*：平分；

（2）若的平分線交於點，且，，求的長．

【回答】

（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE，利用垂徑定理、圓周角、弧、弦的關係*得結論；

（2）根據題意*BE=EF，得到BE的長，再*△EBD∽△EAB得到， 求出AE，從而得到AF．

【詳解】

解：（1）連接OE． ∵直線EG與⊙O相切於E， ∴OE⊥EG． ∵EG∥BC， ∴OE⊥BC，

∴，

∴∠BAE=∠CAE． ∴AE平分∠BAC；

（2）如圖，∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠4，

∵∠1=∠5，

∴∠4=∠5，

∵BF平分∠ABC，

∴∠2=∠3，

∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，

∴EB=EF，

∵DE=3，DF=2，

∴BE=EF=DE+DF=5，

∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，

∴△EBD∽△EAB，

∴，即，

∴AE=，

∴AF=AE-EF=-5=．

【點睛】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓周角、弧、弦的關係，切線的*質，相似三角形的判定和*質，掌握定理並熟練運用是解題必備的能力．

知識點：相似三角形

題型：綜合題