中心為O的正六邊形的半徑為．點同時分別從兩點出發，以的速度沿向終點運動，連接，設運動時間為．（1）求*：四邊形...

問題詳情：

中心為O的正六邊形的半徑為．點同時分別從兩點出發，以的速度沿向終點運動，連接，設運動時間為．

（1）求*：四邊形為平行四邊形；

（2）求矩形的面積與正六邊形的面積之比．

【回答】

（1）見解析；（2）2：3

【解析】

（1）只要*△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可*；

（2）過點B，點E作BN⊥CD，EM⊥CD，連接OC，OD，過點O作OH⊥CD分別求出矩形的面積和正六邊形的面積，從而得到結果.

【詳解】

解：（1）*：∵中心為O的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F， ∵點P，Q同時分別從A，D兩點出發，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動， ∴AP=DQ=t，PF=QC=6-t， 在△ABP和△DEQ中，

， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴BP=EQ，同理可*PE=QB， ∴四邊形PEQB是平行四邊形；

（2）由（1）可知四邊形PEQB是平行四邊形

∴當∠BQE=90°時，四邊形PEQB是矩形

過點B，點E作BN⊥CD，EM⊥CD，連接OC，OD，過點O作OH⊥CD

∴∠BNQ=∠QME=90°，

∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90°

∴∠NBQ=∠EQM

∴△NBQ∽△MQE

∴

又∵正六邊形ABCDEF的半徑為6，

∴正六邊形ABCDEF的各邊為6，∠BCQ=∠EDQ=120°

∴在Rt△BNC和Rt△EDM中，∠NBC=∠DEM=30°

∴NC=DM=，BN=EM=

∴，解得：

（捨去）

即當P與F重合，Q與C重合時，四邊形PEQB是矩形

此時矩形PEQB的面積為

∵在正六邊形ABCDEF中，∠COD=60°，OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，OC=OD=CD=6，OH=

S六邊形ABCDEF=

=

=，

∴S矩形PBQE：S六邊形ABCDEF=：=2：3

【點睛】

本題考查正多邊形、平行四邊形的判定和*質、矩形的*質與判定，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型．

知識點：相似三角形

題型：綜合題