問題詳情:
在平面直角座標系中,對於任意兩點與的“非常距離”,給出如下定義: 若,則點與點的“非常距離”為;若,則點與點的“非常距離”為.
例如:點,點,因為,所以點與點的“非常距離”為,也就是圖1中線段與線段長度的較大值(點為垂直於軸的直線與垂直於軸的直線的交點)。
(1)已知點,為軸上的一個動點,①若點與點的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點的座標;②直接寫出點與點的“非常距離”的最小值;
(2)已知是直線上的一個動點,①如圖2,點的座標是(0,1),求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點的座標; ②如圖3,是以原點為圓心,1為半徑的圓上的一個動點,求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點和點的座標。
【回答】
解:(1)①∵B為y軸上的一個動點,
∴設點B的座標為(0,y).
∵|﹣﹣0|=≠2,
∴|0﹣y|=2,
解得,y=2或y=﹣2;
∴點B的座標是(0,2)或(0,﹣2);…………………………………2分
②點A與點B的“非常距離”的最小值為…………………………………3分
(2)①如圖2,取點C與點D的“非常距離”的最小值時,需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答,此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.即AC=AD,
∵C是直線y=x+3上的一個動點,點D的座標是(0,1),
∴設點C的座標為(x0,x0+3),
∴﹣x0=x0+2,
此時,x0=﹣, …………………………………4分
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為:|x0|=,…………………………………5分
此時C(﹣,); …………………………………6分
②當點E在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時,點C與點E的“非常距離”最小,設E(x,y)(點E位於第二象限).則
,
解得,,
故E(﹣,). …………………………………7分
﹣﹣x0=x0+3﹣,
解得,x0=﹣, …………………………………8分
則點C的座標為(﹣,),…………………………………9分
最小值為1. …………………………………10分
知識點:一次函數
題型:解答題