在平面直角座標系中，點為座標原點，動點與定點F(－1，0)的距離和它到定直線的距離之比是.（1）求動點P的軌跡...

問題詳情：

在平面直角座標系中，點為座標原點，動點與定點F(－1，0)的距離和它到定直線的距離之比是.

（1）求動點P的軌跡的方程；

（2）過作曲線的不垂直於軸的弦,為的中點,直線與曲線交於兩點,求四邊形面積的最小值.

【回答】

解：（1）由已知，得．

兩邊平方，化簡得＋y2＝1．故軌跡的方程是．…（3分）

（2）因AB不垂直於y軸，設直線AB的方程為x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.

y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，於是AB的中點為M，

故直線PQ的斜率為－，PQ的方程為y＝－x，即mx＋2y＝0，

整理得：x2=，|PQ|

方法一：設點A到直線PQ的距離為d，則點B到直線PQ的距離也為d，所以2d＝.因為點A，B在直線mx＋2y＝0的異側，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，於是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，從而2d＝.又因為|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分

故四邊形APBQ的面積S＝|PQ|·2d＝=2≥2

即時，

方法二：P（，），Q（，），

P到直線AB的距離d1=，Q到直線AB的距離d2=，

∵P，Q在直線AB的兩側，且關於原點對稱，

∴SAPBQ=丨AB丨（d1+d2）=••（ + ）=，

∴SAPBQ ==2≥2，即時，

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題