以座標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸於點A，B．；如圖，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動...

問題詳情：

以座標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸於點A，B．；如圖，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動．若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒後點P運動到點（2，0），此時Q走過的路程弧的長為；

（1）求此時點Q的座標；

（2）此時PQ是否與⊙O相切？請説明理由．

（3）若點Q按照原來的方向和速度繼續運動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經過5秒後直線PQ被⊙O截得的弦長．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）先求出∠BOQ，再用含30°角的直角三角形的*質求出OC，CQ即可；

（2）用三角函數先求出∠OPQ，再求出∠OQP的度數即可得出結論；

（3）先求出Q點的運動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．

【解答】解：（1）如圖1，過點Q作QC⊥OA，設∠BOQ=n，

∵Q走過的路程弧的長為，

∴=，

∴n=30°，

∴∠BOQ=30°，

在Rt△OCQ中，∠COQ=90°﹣30°=60°，OQ=1，

∴OC=，CQ=，

∴Q（，）；

（2）如圖1，∵P（2，0），

∴OP=2，

∴CP=OP﹣OC=，

在Rt△COP中，tan∠OPQ==，

∴鋭角∠CPQ=30°，

∴∠OPQ+∠POQ=90°，

∴∠OQP=90°，

∴OQ⊥PQ，

∵點Q在⊙O上，

∴PQ與⊙O相切；

（3）由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，

若Q按照原來的方向和速度繼續運動，那麼再過5秒，則點Q再繞點O順時針旋轉150°，

即：Q點落在⊙O與y軸負半軸的交點處（如圖2）

．設直線PQ與⊙O的另外一個交點為D，

過O作OC⊥QD於點C，則C為QD的中點．

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，

∴QP=，

∵OQ•OP=QP•OC，

∴OC==，

∵OC⊥QD，OQ=1，

∴QC=，

∴QD=．

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，切線的判定，垂徑定理，勾股定理，鋭角三角函數，解本題的關鍵是判斷出點PQ是⊙O的切線和點Q再過5秒時的位置，是一道涉及知識點比較多的中考常考題．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題