如圖，已知正方形ABCD的邊長為，連接AC、BD交於點O，CE平分∠ACD交BD於點E，(1)求DE的長；(2...

問題詳情：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為，連接AC、BD交於點O，CE平分∠ACD交BD於點E，

(1)求DE的長；

(2)過點E作EF⊥CE，交AB於點F，求BF的長；

(3)過點E作EG⊥CE，交CD於點G，求DG的長．

【回答】

（1）2-；（2）2-；（3）3-4.

【分析】

（1）求出，根據勾股定理求出，即可求出；

（2）求出，根據全等三角形的*質得出即可；

（3）延長交於，*，得出比例式，代入即可求出*.

【詳解】

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，

∵CE平分∠DCA，

∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，

∵∠DBC=45°，

∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，

∴BE=BC=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，

∴DE=BD﹣BE=2﹣；

（2）∵FE⊥CE，

∴∠CEF=90°，

∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，

∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，

∴△FEB≌△ECD，

∴BF=DE=2﹣；

（3）延長GE交AB於F，

由（2）知：DE=BF=2﹣，

由（1）知：BE=BC=，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∴△DGE∽△BFE，

∴=，

∴=，

解得：DG=3﹣4．

【點睛】

本題考查了正方形的*質，全等三角形的*質和判定，相似三角形的*質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，難度偏大.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題