問題詳情:
已知函數f(x)=,若存在實數k使得函數f(x)的值域為[﹣1,1],則實數a的取值範圍是 .
【回答】
[2,1+] .
【考點】函數的值域.
【專題】作圖題;函數思想;數形結合法;函數的*質及應用.
【分析】由於y=log2(2﹣x)在[0,k)上是遞減函數,再由函數f(x)的值域是[﹣1,1],得到k的範圍,再由y=x3﹣3x2+3的圖象,結合函數的值域[﹣1,1],從而得到a的取值範圍.
【解答】解:由於y=log2(2﹣x)在[0,k)上是遞減函數,
且x=0時,y=1,x=時,y=﹣1,故0<k≤,
畫出函數f(x)的圖象,令x3﹣3x2+3=1,解得x=1,1+,1﹣(捨去),
令g(x)=x3﹣3x2+3,則g′(x)=3x2﹣6x,
由g′(x)=0,得x=0或x=2.
∴當x=2時,函數g(x)有極小值﹣1.
由於存在k使得函數f(x)的值域是[﹣1,1],
故a的取值範圍是[2,1+].
故*為[2,1+].
【點評】本題考查分段函數的圖象和應用,考查函數的單調*和值域,考查數形結合的能力,屬於中檔題.
知識點:基本初等函數I
題型:填空題