已知函數f（x）是R上的偶函數，它在[0，+∞）上是減函數，若f（lnx）＞f（1），則x的取值範圍是（　　）...

問題詳情：

已知函數f（x）是R上的偶函數，它在[0，+∞）上是減函數，若f（lnx）＞f（1），則x的取值範圍是（　　）

A．（e﹣1，1） B．（0，e﹣1）∪（1，+∞） C．（e﹣1，e） D．（0，1）∪（e，+∞）

【回答】

C【考點】3N：奇偶*與單調*的綜合．

【分析】當lnx＞0時，因為f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，所以f（lnx）＞f（1）等價於lnx＜1； 當lnx＜0時，﹣lnx＞0，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，得f（lnx）＞f（1）等價於f（﹣lnx）＞f（1）．x=1時，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．由此能求出x的取值範圍．

【解答】解：∵函數f（x）是R上的偶函數，

在[0，+∞）上是減函數，f（lnx）＞f（1），

∴當lnx＞0時，因為f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，

所以f（lnx）＞f（1）等價於lnx＜1，解得1＜x＜e；

當lnx＜0時，﹣lnx＞0，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，

得f（lnx）＞f（1）等價於f（﹣lnx）＞f（1），

由函數f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，得到﹣lnx＜1，即lnx＞﹣1，

解得e﹣1＜x＜1．

當x=1時，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．

綜上所述，e﹣1＜x＜e．

∴x的取值範圍是：（e﹣1，e）．

知識點：*與函數的概念

題型：選擇題