問題詳情:
已知F1,F2分別為雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交於A,B兩點,若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C.2 D.
【回答】
A.解:|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,
設|AF1|=t,|AB|=3x,則|BF2|=4x,|AF2|=5x,
根據雙曲線的定義,得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a,
即5x﹣t=(3x+t)﹣4x=2a,
解得t=3a,x=a,
即|AF1|=3a,|AF2|=5a,
∵|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,得△ABF2是以B為直角的Rt△,
∴cos∠BAF2==,
可得cos∠F2AF1=﹣,
△F2AF1中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1
=9a2+25a2﹣2×3a×5a×(﹣)=52a2,
可得|F1F2|=2a,即c=a,
因此,該雙曲線的離心率e==.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:選擇題