問題詳情:
已知函數.
(1)令,判斷g(x)的單調*;
(2)當x>1時,,求a的取值範圍.
【回答】
(1)由,則,
所以(x>0).
①當a≤0時,,為的減函數;
②當a>0時,
若,即時,,為的減函數;
若,即時,由有兩根得
在上,為減函數;在上,為增函數;
在上,為減函數.
綜上:當時,為的減函數;
當時,在上,為減函數;在上,為增函數;在上,為減函數.
(2)由(1)知,對a討論如下,
①當a≤0時,,則為(1,+∞)上的減函數,
則,故為(1,+∞)的減函數,
由於,所以,即a≤0時滿足題意.
②當a>0時,由於,對其討論如下:
(A)若,即a≤1,則由(1)知,為(1,+∞)上的減函數,
則,所以為(1,+∞)的減函數,
由於,所以,即0<a≤1時滿足題意.
(B)若,即a>1,則由(1)知,
當時,為(1,+∞)上的減函數,又,
所以存在,使得在時,,於是為的增函數,
因為,
所以,即1<a≤時不滿足題意.
當時,由於,所以對與1的大小關係討論如下,
1)如果,即,那麼由(1)知,為(1,+∞)上的減函數,
又,
則存在,使得在時,,於是為的增函數,
又,則,即時不滿足題意.
2)如果,即,那麼由(1)知,為(1,)上的增函數,
則當時,,於是為的增函數,
又,則,即時不滿足題意.
綜上所述,a的取值範圍為.
【點睛】本題是以導數的運用為背景的函數綜合題,主要考查了函數思想,化歸思想,抽象概括能力,綜合分析問題和解決問題的能力,屬於較難題,近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度,不僅題型在變化,而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大,本部分的要求一定有三個層次:第一層次主要考查求導公式,求導法則與導數的幾何意義;第二層次是導數的簡單應用,包括求函數的單調區間、極值、最值等;第三層次是綜合考查,包括解決應用問題,將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調*有機結合,設計綜合題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題