如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線...

問題詳情：

如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC＝PE．

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關係，並説明理由．

【回答】

（1）AC=5，AD=5；（2）直線PC與⊙O相切

【分析】

(1)、連接BD，根據AB為直徑，則∠ACB=∠ADB=90°，根據Rt△ABC的勾股定理求出AC的長度，根據CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，從而得出AD的長度；(2)、連接OC，根據OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根據PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然後結合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，從而得出∠PCB=∠ACO，根據∠ACB=90°得出∠OCP=90°，從而説明切線.

【詳解】

解：(1)、①如圖，連接BD， ∵AB是直徑

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RT△ABC中，AC=

②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形

∴AD=AB=×10=5cm；

(2)、直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC， ∵OC=OA

∴∠CAO=∠OCA

∵PC=PE

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE

∵CD平分∠ACB

∴∠ACE=∠ECB

∴∠PCB=∠ACO

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切．

考點：(1)、勾股定理；(2)、直線與圓的位置關係.

知識點：勾股定理

題型：解答題