如圖，△ABC內接於⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交於D和E，P為CB延長線上一點，PB...

問題詳情：

如圖，△ABC內接於⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交於D和E，P為CB延長線上一點，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．

（1）求*：PA與⊙O相切；

（2）求sin∠BAP的值；

（3）求AD•AE的值．

【回答】

【解析】（1）*：連接OA，如圖1所示：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP，

∴∠PAB＝∠C，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝∠PAB，

∵BC為直徑，

∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°，

∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°，

∴AP⊥OA，

∴PA與⊙O相切；

（2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C，

∴△PAB∽△PCA，

∴

∵∠CAB＝90°，

∴

∴sin∠BAP＝sin∠C＝；

（3）解：連接CE，如圖2所示：

∵PA與⊙O相切，

∴PA2＝PB×PC，即102＝5×PC，

∴PC＝20，

∴BC＝PC﹣PB＝15，

∵

∴，

∵AE是∠BAC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠E＝∠ABD，

∴△ACE∽△ADB，

∴

∴

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題