如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的點，=，弦CD交AB於點E．（1）當PB是⊙O的切線時，求*：∠PBD=∠...

問題詳情：

如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的點， =，弦CD交AB於點E．

（1）當PB是⊙O的切線時，求*：∠PBD=∠DAB；

（2）求*：BC2﹣CE2=CE•DE；

（3）已知OA=4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長．

【回答】

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴=，即DE•CE=AE•BE，

如圖，連接OC，

設圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r，

則DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，

∵=，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，

則BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，

∴BC2﹣CE2=DE•CE；

（3）∵OA=4，

∴OB=OC=OA=4，

∴BC==4，

又∵E是半徑OA的中點，

∴AE=OE=2，

則CE===2，

∵BC2﹣CE2=DE•CE，

∴（4）2﹣（2）2=DE•2，

解得：DE=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題