如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經過點C的直線與AB的延長線交於點D，連接AC，BC，∠BCD=∠CA...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經過點C的直線與AB的延長線交於點D，連接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一點，弧CB=弧CE，連接AE並延長與DC的延長線交於點F．

（1）求*：DC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，sinD=，求線段AF的長．

【回答】

【考點】切線的判定；圓周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）連接OC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根據等腰三角形的*質得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．於是得到結論；

（2）根據三角函數的定義得到OD=5，AD=8．根據圓周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根據相似三角形的*質即可得到結論．

【解答】（1）*：連接OC，BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

∵∠DCB=∠BAC=∠1．

∴∠DCB+∠3=90°．

∴OC⊥DF．

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．

∴OD=5，AD=8．

∵=，

∴∠2=∠4．

∴∠1=∠4．

∴OC∥AF．

∴△DOC∽△DAF．

∴．

∴AF=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題