如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC於點D，E，點F在AC的延長線上，且∠BAC...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC於點D，E，點F在AC的延長線上，且∠BAC=2∠CBF． （1）求*：BF是⊙O的切線； （2）若⊙O的直徑為3，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

【回答】

（1）*：連接AE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴2∠1=∠CAB． ∵∠BAC=2∠CBF， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直徑， ∴直線BF是⊙O的切線； （2）解：過點C作CH⊥BF於H． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， ∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3， ∴BE=AB•sin∠1=3×=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2， ∵sin∠CBF==， ∴CH=2， ∵CH∥AB， ∴=，即=， ∴CF=6， ∴AF=AC+CF=9， ∴BF==6． 【解析】

（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩鋭角相等得到直角，從而*∠ABF=90°． （2）解直角三角形即可得到結論． 本題考查了圓的綜合題：切線的判定與*質、勾股定理、直角所對的圓周角是直角、解直角三角形等知識點．

知識點：各地中考

題型：解答題