如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．點D是AB中點，點E為邊AC上一點，連接CD，DE，以DE...

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問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．點D是AB中點，點E為邊AC上一點，連接CD，DE，以DE為邊在DE的左側作等邊三角形DEF，連接BF．

（1）△BCD的形狀為________；

（2）隨着點E位置的變化，∠DBF的度數是否變化？並結合圖説明你的理由；

（3）當點F落在邊AC上時，若AC=6，請直接寫出DE的長．

【回答】

（1）等邊三角形（2）解：∠DBF的度數不變，理由如下： ∵∠ACB=90°，點D是AB中點， ∴CD= AB=AD， ∴∠ECD=30°． ∵△BDC為等邊三角形， ∴BD=DC，∠BDC=60°．又∵△DEF為等邊三角形， ∴DF=DE，∠FDE=60°， ∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°， ∴∠BDF=∠CDE．在△BDF和△CDE中，， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠DBF=∠DCE=30°，即∠DBF的度數不變（3）解：過點E作EM⊥AB於點M，如圖所示．在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6， ∴AB=2BC，AC= = BC=6， ∴BC=2 ，AB=4 ． ∵△DEF為等邊三角形， ∴∠DEF=60°， ∵∠A=30°， ∴∠ADE=30°， ∴DE=AE， ∴AM= AD= × AB= ．在Rt△AME中，∠A=30°，AM= ， ∴AE=2EM，AM= = EM， ∴EM=1，AE=2， ∴DE=2．【考點】全等三角形的判定與*質，等邊三角形的*質，含30度角的直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理【解析】【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠CBD=60°． ∵點D是AB中點， ∴BD=BC， ∴△BCD為等邊三角形．故*為：等邊三角形．【分析】（1）根據三角形的內角和及直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半得出BD=BC，∠CBD=60°，從而判斷出△BCD為等邊三角形；（2）∠DBF的度數不變，理由如下：根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半及等邊對等角得出∠ECD=30°．又由等邊三角形的*質得出BD=DC，∠BDC=60°，DF=DE，∠FDE=60°，進而判斷出∠BDF=∠CDE，再由SAS判斷出△BDF≌△CDE，根據全等三角形的*質得出得出∠DBF=∠DCE=30°；（3）過點E作EM⊥AB於點M，在Rt△ABC中，由∠A=30°得出AB=2BC，進而利用勾股定理得出AC的長度，由等邊三角形的*質及等角對等邊得出DE=AE，進而知道AM的長度，在Rt△AME中由∠A=30°得出AE=2EM，進而利用勾股定理得出AM的長度,從而得出結論。