問題詳情:
如圖,正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.
(1)求*:EF⊥平面BCE;
(2)設線段CD的中點為P,在直線AE上是否存在一點M,使得PM∥平面BCE?若存在,請指出點M的位置,並*你的結論;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:法一 (1)取BE的中點G,連接AG,由題意知EF⊥BE.
由EA=AB知AG⊥BE,所以EF∥AG.
∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC⊥AB,
∴BC⊥平面ABEF,
∴BC⊥AG.
又∵BC∩BE=B,
∴AG⊥平面BCE,
∴EF⊥平面BCE.
(2)當M為AE中點時有PM∥平面BCE.
取AB的中點N,連接PN、MN,
則MN∥BE,NP∥BC,
所以MN∥平面BCE,NP∥平面BCE.
又MN∩NP=N,所以平面PMN∥平面BCE,
又PM⊂平面PMN且PM⊄平面BCE,
∴PM∥平面BCE.
法二 (1)因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.
又平面ABEF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE兩兩垂直,
以A為座標原點,建立直角座標系Axyz.
設AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).
因為FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,從而,F(0,-,).
所以=(0,-,-),
=(0,-1,1),=(1,0,0).
·=0+-=0,·=0.
所以EF⊥BE,EF⊥BC.
又BC∩BE=B,
所以EF⊥平面BCE.
(2)存在點M,當M為AE中點時,PM∥平面BCE.
M(0,0,),P(1,,0).
從而=(-1,-,),
於是·=(-1,-,)·(0,-,-)=0,
所以PM⊥FE,
又EF⊥平面BCE,直線PM不在平面BCE內,
故PM∥平面BCE.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題