如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．（Ⅰ）若點E是AB的中點，求*：BM∥平...

問題詳情：

如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．

（Ⅰ）若點E是AB的中點，求*：BM∥平面NDE；

（Ⅱ）在線段AB上找一點E，使二面角D﹣CE﹣M的大小為時，求出AE的長．

【回答】

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．

【分析】（I）如圖所示，連接AM交ND於點F，連接EF．利用正方形的*質可得AF=FM，利用三角形的中位線定理可得：EF∥BM．利用線面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．

（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的*質定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系．設E（3，b，0），設平面MCE的法向量為=（x，y，z），則，解得．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．根據二面角D﹣CE﹣M的大小為時，可得=，解出b即可．

【解答】（I）*：如圖所示，連接AM交ND於點F，連接EF．

∵四邊形ADMN是正方形，∴AF=FM，

又AE=EB，∴EF∥BM．

∵BM⊄平面NDE，EF⊂平面NDE，

∴BM∥平面NDE．

（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，

∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．

以DA，DC，DM所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系．

設E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．

=（3，b﹣6，0），=（0，﹣6，3）．

設平面MCE的法向量為=（x，y，z），則，

取y=1，則z=2，x=．

∴=．

取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．

∵二面角D﹣CE﹣M的大小為時，∴ ==，

解得b=（0≤b≤6）．

∴二面角D﹣CE﹣M的大小為時，AE=．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題