如圖，在長方體中，點分別在稜上，且，．（1）*：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．

問題詳情：

如圖，在長方體中，點分別在稜上，且，．

（1）*：點在平面內；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）連接、，*出四邊形為平行四邊形，進而可*得點在平面內；

（2）以點為座標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角座標系，利用空間向量法可計算出二面角的餘弦值，進而可求得二面角的正弦值.

【詳解】（1）在稜上取點，使得，連接、、、，

在長方體中，且，且，

，，且，

所以，四邊形為平行四邊形，則且，

同理可*四邊形為平行四邊形，且，

且，則四邊形為平行四邊形，

因此，點在平面內；

（2）以點為座標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角座標系，

則、、、，

，，，，

設平面的法向量為，

由，得取，得，則，

設平面的法向量為，

由，得，取，得，，則，

，

設二面角的平面角為，則，.

因此，二面角的正弦值為.

【點睛】本題考查點在平面的*，同時也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計算能力，屬於中等題.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題