如圖，在直三稜柱中，是的中點.（1）求*：平面；（2）若是正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值。

問題詳情：

如圖，在直三稜柱中，是的中點.

（1）求*：平面；

（2）若是正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值。

【回答】

試題解析：（1）連接，設與的交點為，則為的中點，連接，又是的中點，所以.又平面，平面，所以平面.

（2）是的中點，是正三角形，則，，，

設，則，以為軸，為軸，為軸建立空間直角座標系.

則，，，，，， .

設是平面的法向量，則，可取平面的法向量為，則

 ，所以直線與平面所成角的正弦值為.

【點睛】空間向量在立體幾何中的應用

(1)兩條異面直線所成角的求法：設兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ為異面直線a，b所成的角)．

(2)直線和平面所成的角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝.

(3)求二面角的大小：①如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與稜l垂直的直線，則二面角的大小θ＝

②如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題