定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，若∠MPN繞點P旋...

問題詳情：

定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，若∠MPN繞點P旋轉時始終滿足OM•ON＝OP2，則稱∠MPN是∠AOB的“相關角”．

（1）如圖1，已知∠AOB＝60°，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，且∠MPN＝150°．求*：∠MPN是∠AOB的“相關角”；

（2）如圖2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相關角”，連結MN，用含α的式子分別表示∠MPN的度數和△MON的面積；

（3）如圖3，C是函數（x0）圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸於點A，B兩點，且滿足BC＝3CA，∠AOB的“相關角”為∠APB，請直接寫出OP的長及相應點P的座標．

【回答】

（1）見解析；（2）；（3），P點座標為或

【解析】

【分析】

（1）由角平分線求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再*出∠OMP＝∠OPN，*△MOP∽△PON，即可得出結論；

（2）由∠MPN是∠AOB的“相關角”，判斷出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；過點M作MH⊥OB於H，由三角形的面積公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出結論；

（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA於H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC＝3CA不可能；當點A在x軸的正半軸上時；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA•OB，根據∠APB是∠AOB的“相關角”，得出OP，即可得出點P的座標；②當點B在y軸的負半軸上時；同①的方法即可得出結論．

【詳解】

（1）*：∵∠AOB＝60°，P為∠AOB的平分線上一點，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，

∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，

∴∠OMP+∠MPO＝150°，

∵∠MPN＝150°，

∴∠MPO+∠OPN＝150°，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴△MOP∽△PON，

∴，

∴OP2＝OM•ON，

∴∠MPN是∠AOB的“相關角”；

（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相關角”，

∴OM•ON＝OP2，

∴，

∵P為∠AOB的平分線上一點，

∴∠MOP＝∠NOP＝α，

∴△MOP∽△PON，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，

即∠MPN＝180°﹣α；

過點M作MH⊥OB於H，如圖2，

則S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，

∵OP＝3，

∴S△MON＝sinα；

（3）設點C（a，b），則ab＝4，

過點C作CH⊥OA於H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；

Ⅰ、當點A在x軸的負半軸上，如圖3所示：

BC＝3CA不可能，

Ⅱ、當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：

∵BC＝3CA，

∴，

∵CHOB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴,

∴OB＝4b，OA＝a，

∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，

∵∠APB是∠AOB的“相關角”，

∴OP2＝OA•OB，

∴，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴點P的座標為：；

②當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示：

∵BC＝3CA，

∴AB＝2CA，

∴，

∵CHOB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴

∴OB＝2b，OA＝a，

∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，

∵∠APB是∠AOB的“相關角”，

∴OP2＝OA•OB，

∴，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴點P的座標為：；

綜上所述：點P的座標為：或．

【點睛】

本題考查反比例函數與幾何綜合，掌握數形結合和分類討論的思想是解題的關鍵．

知識點：反比例函數單元測試

題型：解答題