已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；（2）從...

問題詳情：

已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；

（2）從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為座標原點，且有

|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值時點P的座標．

【回答】

解　(1)將圓C整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①當切線在兩座標軸上的截距為0時，設切線方程為y＝kx，∴圓心到切線的距離為＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±.∴切線方程為y＝(2±)x.

②當切線在兩座標軸上的截距不為0時，設切線方程為x＋y－a＝0，∴圓心到切線的距離為＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1.

∴切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

綜上所述，所求切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

（2）∵|PO|＝|PM|，∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上.當|PM|取最小值時，|OP|取得最小值，此時直線OP⊥l，∴直線OP的方程為2x＋y＝0.聯立方程組

∴點P的座標為.

知識點：圓與方程

題型：解答題