問題詳情:
(在平面直角座標系xOy中,曲線y=x2-6x+1與座標軸的交點都在圓C上. (1)求圓C的方程; (2)若圓C與直線x-y+a=0交於A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.
【回答】
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解:(1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2,0),
(3-2,0).
故可設圓C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
則圓C的半徑為=3.
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1,y1),=(x2,y2),其座標滿足方程組:(x-3)2+(y-1)2=9.
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0.
從而x1+x2=4-a,x1x2=2.①
由於OA⊥OB,所以即x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題