問題詳情:
如圖,∠AOB=120°,*線OC從OA開始,繞點O逆時針旋轉,旋轉的速度為每分鐘20°;*線OD從OB開始,繞點O逆時針旋轉,旋轉的速度為每分鐘5°,OC和OD同時旋轉,設旋轉的時間為t(0≤t≤15).
(1)當t為何值時,*線OC與OD重合;
(2)當t為何值時,∠COD=90°;
(3)試探索:在*線OC與OD旋轉的過程中,是否存在某個時刻,使得*線OC,OB與OD中的某一條*線是另兩條*線所夾角的角平分線?若存在,請求出所有滿足題意的t的取值,若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)t=8min時,*線OC與OD重合;
(2)當t=2min或t=14min時,*線OC⊥OD;
(3)存在,詳見解析.
【解析】
(1)當OC與OD重合時,根據角度關係可知∠AOC=∠AOB+∠BOD,利用題中*線的旋轉速度,由角度=時間×旋轉速度,列出方程,求解即可得到*線OC與OD重合時的時間t;
(2)當∠COD=90°時,可分為兩種情況,當OC位於OD的右邊時:∠BOD+120°=∠AOC+90°;當OC位於OD左邊時:∠AOC-90°-120°=∠BOD,列出對應的方程,求解即可;
(3)分三種情況來考慮,當OB為角平分線時:120°-∠AOC=∠BOD;當OC為角平分線時:∠AOC-120°=∠BOD;當OD為角平分線時:∠AOC-120°=2∠BOD,列方程求解即可.
【詳解】
解:(1)由題意得,20t=5t+120°,解得t=8,
即當t=8分鐘時,*線OC與OD重合;
(2)當OC位於OD的右邊時:∠BOD+120°=∠AOC+90°,則可得5t+120°=20t+90°,解得t=2分鐘;
當OC位於OD左邊時:∠AOC-90°-120°=∠BOD,則可得20t-90°-120°=5t,解得t=14分鐘;
故當t=2或14分鐘時,∠COD=90°;
(3)存在.
當OB為角平分線時:120°-∠AOC=∠BOD,則可得120°-20t=5t,解得t=4.8分鐘;
當OC為角平分線時:∠AOC-120°=∠BOD,則可得20t-120°=×5t,解得t=分鐘;
當OD為角平分線時:∠AOC-120°=2∠BOD,則可得20t -120°=2×5t,解得t=12分鐘.
故當t=4.8或或12分鐘時,*線OC,OB與OD中的某一條*線是另兩條*線所夾角的角平分線.
【點睛】
本題由角的邊的旋轉考查了角的和差運算,注意運動的不確定*所帶來的多可能*.
知識點:角
題型:解答題