如圖，AB=16，O為AB中點，點C在線段OB上（不與點O，B重合），將OC繞點O逆時針旋轉270°後得到扇形...

問題詳情：

如圖，AB=16，O為AB中點，點C在線段OB上（不與點O，B重合），將OC繞點O逆時針旋轉270°後得到扇形COD，AP，BQ分別切優弧於點P，Q，且點P，Q在AB異側，連接OP．

（1）求*：AP=BQ；

（2）當BQ=4時，求扇形COQ的面積及的長（結果保留π）；

（3）若△APO的外心在扇形COD的內部，請直接寫出OC的取值範圍．

【回答】

（1）*：連接OQ，如圖所示．

∵AP、BQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90°．

在Rt△APO和Rt△BQO中，，

∴Rt△APO≌Rt△BQO（HL），

∴AP=BQ．

（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三點共線．

∵在Rt△BOQ中，cosB===，

∴∠B=30°，∠BOQ=60°，

∴OQ=OB=4，

∴S扇形COQ==π．

∵∠COD=90°，

∴∠QOD=90°+60°=150°，

∴優弧的長==π．

（3）解：設點M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點，

∵OA=8，

∴OM=4，

∴當△APO的外心在扇形COD的內部時，OM＜OC，

∴OC的取值範圍為4＜OC＜8．

知識點：弧長和扇形面積

題型：解答題